ポンスレの閉形定理

幾何学において、ポンスレの閉形定理（ポンスレのへいけいていり、英: Poncelet's closure theorem, Poncelet's porism）または単にポンスレの定理は、二つの円錐曲線にそれぞれ外接、 内接する多角形が1つでも存在すれば、そのような多角形は無数に存在するという定理である。1746年、ウィリアム・チャップル が三角形の場合を証明し、1822年、ポンスレが一般の場合を解決した。

主張

C,Dを二つの円錐曲線とする。3以上の整数nについて、あるn角形がCに外接する（多角形の頂点すべてがC上にある）かつDに内接する（多角形の辺すべてがDと接する）ならば、同様にCに外接しDに内接するn角形を無数に見つけることができる。CまたはD上の任意の点はそのような多角形の接点になり得る。

C,Dがともに円ならばこの多角形は双心多角形と呼ばれる。双心多角形はPoncelet's porismの一部である。

証明の概要

C,Dを複素射影平面 P²上の曲線として見る。簡単のため、C,Dは単純な交点を持つとする（非特異で一般の位置にある）。このときベズーの定理よりC,Dの交点は4つ存在する。点cを通るDの接線ℓ_dの接点をd、(c,d)をもつC×Dの部分代数多様体をXをとする。c∈C∩Dならばdは1つ、でなければ2つ存在する。したがって射影X → C ≃ P¹は、Xを4点以上で分岐した位数2の自己同型で表す。つまりXは楕円曲線である。 (c,d)を同一座標上の点(c,d' )へ移すXの対合を${\displaystyle \sigma }$とする。不動点をもつ楕円曲線の対合は、群として、x→p - xと表現されるので、${\displaystyle \sigma }$もこの形式となる。同様に射影X → Dも、C,Dの4つの共通接線とDの接点で分岐した位数2の自己同型であり、対合${\displaystyle \tau }$はx→q - xと一致する。したがって合成写像${\displaystyle \tau \sigma }$はXへの変換を表す。${\displaystyle \tau \sigma }$のべきが不動点を持つならば、そのべきはその点で恒等写像である必要がある。C,Dに言い換えると、（対応するdの存在する）ある点c∈Cが閉じた軌道をつくる（つまりn角形を作る）ならば、すべての点が不動であるということである。C,Dが退化した場合は極限を取ることで導かれる。

空間への拡張

1880年、フルヴィッツ（Hurwitz）は次のように空間へ一般化した。

2つの空間三次曲線にそれぞれ内接・外接するような四面体が、2つでもあれば、そのような四面体は無数に存在する。

他に1901,1904年にフォントネーに論じられ、1928年にフランツ・マイヤー（Franz Meyer）に双対を証明された、次のようなものもある。

与えられた空間三次曲線に内接し、二次曲面に外接する四面体は、一般に1つ存在し、2つ存在するならば、そのような四面体は無数に存在する。

フォントネーやブリカールは八面体や二十面体への拡張にも言及している 。

関連

• Finding Ellipses
• ハーツホーン楕円
• シュタイナー円鎖
• 円の接線
• イーガン予想

出典

• Bos, H. J. M.; Kers, C.; Oort, F.; Raven, D. W. "Poncelet's closure theorem". Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289–364.

外部リンク

• David Speyer on Poncelet's Porism
• D. Fuchs, S. Tabachnikov, Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics
• Interactive applet by Michael Borcherds showing the cases n = 3, 4, 5, 6, 7, 8 (including the convex cases for n = 7, 8) made using GeoGebra.
• Interactive applet by Michael Borcherds showing Poncelet's Porism for a general Ellipse and a Parabola made using GeoGebra.
• Interactive applet by Michael Borcherds showing Poncelet's Porism for 2 general ellipses (order 3) made using GeoGebra.
• Interactive applet by Michael Borcherds showing Poncelet's Porism for 2 general ellipses (order 5) made using GeoGebra.
• Interactive applet by Michael Borcherds showing Poncelet's Porism for 2 general ellipses (order 6) made using GeoGebra.
• Java applet showing the exterior case for n = 3 at National Tsing Hua University.
• Article on Poncelet's Porism at Mathworld.